10³ es mil: eso ya lo sabes. Pero ¿y 10⁻³? ¿Y ese mol⁻¹ que va pegado a un número? En la ESO las potencias van casi siempre hacia arriba. En ciencia también van hacia abajo, y de ahí salen los logaritmos.
10⁻³ Exponente negativo: dividir
- Se lee
- 10⁻³ se lee «diez elevado a menos tres».
- Significa
- Un exponente negativo quiere decir dividir: 10⁻³ = 1 / 10³ = 1/1000 = 0,001.
Si 10³ es multiplicar 1 por 10 tres veces, 10⁻³ es dividir 1 entre 10 tres veces. Así se escriben números muy pequeños sin llenar la página de ceros: 3×10⁻⁴ es 0,0003.
Ejemplo real · en la lección ¿Por qué el ordenador dice que 0,1 + 0,2 no es 0,3?
|δ| ≤ u = 2⁻⁵³: el error de redondeo no pasa de 1 / 2⁵³, más o menos una diezmilbillonésima.
J/(mol·K) Unidades compuestas: mol⁻¹ y J/(mol·K)
- Se lee
- J/(mol·K) se lee «julios por mol y por kelvin». mol⁻¹ se lee «por mol».
- Significa
- Una unidad con barra o con exponente −1 dice «cada»: kJ/mol son kilojulios por cada mol. mol⁻¹ es lo mismo que /mol.
Las unidades se multiplican y dividen como los números. J/(mol·K) son julios por cada mol y por cada kelvin: el punto de dentro es «y» y el paréntesis agrupa lo que va debajo. Y como dividir es multiplicar por la potencia −1, mol⁻¹ es «por mol».
Ejemplo real · en la lección ¿De qué está hecho un muro? Átomos y elementos sin miedo
N_A = 6,022 140 76×10²³ mol⁻¹: tantas partículas por cada mol.
Ejemplo real · en la lección ¿Por qué el diamante no se convierte en grafito?
R = 8,314 J/(mol·K): la constante de los gases.
h⁽ˡ⁾ Superíndice entre paréntesis: no es potencia
- Se lee
- h⁽ˡ⁾ se lee «h de la capa l».
- Significa
- Un número o letra arriba y entre paréntesis es una etiqueta, como un subíndice que se ha subido, para no chocar con los subíndices que ya hay.
En las redes neuronales hay capas, y cada capa tiene sus números. h⁽¹⁾ son los de la primera capa y h⁽²⁾ los de la segunda. Los paréntesis avisan de que ese número de arriba no eleva nada.
Ejemplo real · en la lección ¿Regresión logística o red neuronal? Es la misma neurona
h⁽ˡ⁾ = σ(z⁽ˡ⁾): lo que sale de la capa l.
e El número e y la exponencial
- Se lee
- «e», el número de Euler. e^(−t/τ) se lee «e elevado a menos t entre tau». exp(x) es lo mismo que eˣ.
- Significa
- e ≈ 2,718 es un número, como π. Elevado a algo, eˣ, describe cosas que crecen o se apagan a un ritmo proporcional a lo que hay.
Aparece cuando algo cambia en proporción a sí mismo: un interés que se reinvierte, una taza que se enfría más deprisa cuanto más caliente está, o qué parte de las moléculas tiene energía suficiente para reaccionar. Cuando el exponente es muy largo, se escribe exp(…) para que se lea mejor.
Ejemplo real · en la lección ¿Por qué el diamante no se convierte en grafito?
k = A·e^(−Eₐ/RT): cuanto más alta la temperatura, más choques llegan con energía de sobra.
log El logaritmo: ¿cuántas veces multiplico?
- Se lee
- log₁₀ 1000 se lee «logaritmo en base diez de mil». ln es el logaritmo en base e.
- Significa
- El logaritmo es la pregunta al revés de la potencia: ¿a cuánto hay que elevar la base para que salga este número? log₁₀ 1000 = 3, porque 10³ = 1000.
Para números muy grandes o muy pequeños, el logaritmo cuenta los ceros: log₁₀ 1 000 000 = 6 y log₁₀ 0,001 = −3. Por eso convierte multiplicaciones en sumas y deja meter en una misma gráfica cosas de tamaños muy distintos. log₂ hace lo mismo en base 2, la de los ordenadores, y ln lo hace en base e.
Ejemplo real · en la lección ¿Por qué el diamante no se convierte en grafito?
ln k = ln A − (Eₐ/R)(1/T): con logaritmos, la curva de Arrhenius se vuelve una recta.
⌊x⌋ La parte entera: ⌊x⌋
- Se lee
- ⌊x⌋ se lee «parte entera de x» o «suelo de x».
- Significa
- Unos corchetes con solo la pata de abajo redondean hacia abajo: ⌊3,7⌋ = 3 y ⌊−1,2⌋ = −2.
Sirve para quedarse con el número entero que queda justo por debajo. Combinado con el logaritmo, da cuántas cifras tiene un número antes de la coma, menos una.
Ejemplo real · en la lección ¿Cuánto es 7×10²⁷? Números enormes sin miedo
n = ⌊log₁₀|x|⌋: el exponente de la notación científica es la parte entera del logaritmo.
Prueba tú
Mueve el exponente de −9 a 9. Mira cómo cambia el número en decimal, su fracción y su prefijo, y fíjate en que el logaritmo en base 10 es justo el exponente.
Reto
Fuentes
- Potencias, e, exp, log, ln y la parte entera: ISO 80000-2:2019, Quantities and units — Part 2: Mathematics (iso.org).
- Cómo escribir unidades compuestas y los prefijos del SI (tabla 7): BIPM, El Sistema Internacional de Unidades (Folleto del SI), 9.ª ed., 2019 (bipm.org).
Cómo está hecha esta ficha: redactada con ayuda de Claude a partir de las fuentes de arriba. Los ejemplos están copiados de las lecciones de la web. Los dibujos son propios.