¿Cuánto es 7×10²⁷? Números enormes sin miedo

♣ Novato

Coge un grano de arena. Pon diez en fila: tienes 10. Haz diez filas, una al lado de otra, y sale una placa de 100. Apila diez placas y tienes un cubo de 1000 granos.

Cada vez que haces eso, multiplicas por diez, y al número le crece un cero. Ese es todo el truco: cada cero más es ×10.

Por eso, en vez de escribir los ceros uno a uno, se cuentan. 1000 tiene tres ceros, así que se escribe 10³ (“diez elevado a tres”). Un millón tiene seis: 10⁶. Y 7×10²⁷ quiere decir “un 7 con 27 ceros detrás”.

Contar ceros evita el error más tonto con números grandes: saltarse uno sin darte cuenta, que es equivocarte diez veces.

♦ Intermedio

Escribir 7 seguido de 27 ceros es incómodo y es fácil equivocarse. La notación científica lo arregla: un número delante, entre 1 y 10, multiplicado por 10 elevado a un exponente. El exponente dice cuántos sitios se mueve la coma.

• 7 000 000 = 7×10⁶: la coma salta 6 sitios a la izquierda.
• 0,0003 = 3×10⁻⁴: un exponente negativo quiere decir que la coma salta hacia el otro lado. Es un número pequeño, no un número negativo.

Para operar, multiplicar suma los exponentes y dividir los resta: (2×10³) × (4×10⁵) = 8×10⁸.

Los decimales del número delante dicen cuánto sabes: 7×10²⁷ es “unos 7”; 7,0×10²⁷ es “7, con una décima de precisión”.

Las calculadoras y los programas escriben lo mismo con una E: 7e27 es 7×10²⁷.

♠ Técnico

Todo real x ≠ 0 se escribe de forma única como x = a·10ⁿ con 1 ≤ |a| < 10 y n ∈ ℤ. Tomando logaritmos, log₁₀|x| = n + log₁₀|a|, con 0 ≤ log₁₀|a| < 1: el exponente es la parte entera del logaritmo, n = ⌊log₁₀|x|⌋, y la mantisa guarda la parte fraccionaria. La notación científica es una tabla de logaritmos de bolsillo, y por eso el producto se reduce a sumar exponentes.

Las cifras significativas viven en la mantisa: 7×10²⁷ afirma una cifra y 7,0×10²⁷, dos. Escribir 7 000 000 000 000 000 000 000 000 000 parece afirmar 28 cifras exactas, y nadie las conoce.

Los ordenadores usan la misma idea en base 2. Un double (IEEE 754) guarda una mantisa binaria de 53 bits y un exponente: su máximo es 2¹⁰²⁴ − 2⁹⁷¹ ≈ 1,8×10³⁰⁸ y los enteros solo son exactos hasta 2⁵³ − 1 (MDN). 10²⁷ cabe de sobra, pero en JavaScript 7e27 + 1 === 7e27 es true: el 1 cae por debajo de la precisión.

♣ Novato

Los ceros de tres en tres tienen nombre, y ya usas varios sin pensarlo:

• kilo es mil: un kilómetro son mil metros.
• mega es un millón: una foto de 12 megapíxeles tiene 12 millones de puntos.
• giga es mil millones: un gigabyte son mil millones de bytes.
• tera es un billón: un disco de un terabyte guarda un billón de bytes.

Cada peldaño es ×1000.

Y una trampa que conviene conocer: el billion inglés no es un billón. Billion son mil millones. Nuestro billón es un millón de millones, mil veces más. Cuando una noticia traducida del inglés hable de “un billón de dólares”, sospecha: puede que el original dijera billion.

♦ Intermedio

Un prefijo es una palabra que se pega delante de una unidad y la multiplica por una potencia de diez. Cada uno tiene un símbolo de una letra (o dos, en el caso de deca, da). El Sistema Internacional (SI) tiene 24.

Los cuatro de los extremos, ronna, quetta, ronto y quecto, se añadieron en 2022, porque la cantidad de datos del mundo pronto va a pasar de 10²⁴.

Dos detalles importan:

• Minúscula y mayúscula no son lo mismo: m es mili (una milésima) y M es mega (un millón). Entre 1 mm y 1 Mm hay un factor de mil millones.
• Kilo siempre es 1000. En informática se usa a veces “kilo” para 1024, pero para eso existe otro prefijo, kibi (Ki). Un gibibyte frente a un gigabyte es un 7,4 % más grande.

♠ Técnico

Los 24 prefijos del SI son potencias de 10³, salvo hecto, deca, deci y centi (10², 10¹, 10⁻¹, 10⁻²), que sobreviven por uso. La 27.ª Conferencia General de Pesas y Medidas (2022) añadió R, Q, r y q, con dos motivos explícitos: la ciencia de datos necesitará pronto expresar cantidades por encima de 10²⁴, y había que adelantarse a que se impusieran nombres no oficiales.

El folleto del SI fija tres reglas que se rompen a menudo:

• El símbolo del prefijo y el de la unidad forman un símbolo inseparable, y la potencia afecta a los dos: 1 km² = (10³ m)² = 10⁶ m², no 10³ m². Igual, 2,3 cm³ = 2,3×10⁻⁶ m³.
• No se encadenan prefijos: nm, no mµm.
• El kilogramo es la única unidad básica que ya lleva prefijo, así que los múltiplos se forman sobre el gramo: 10⁻⁶ kg es mg, no µkg.

Los prefijos del SI son estrictamente potencias de 10: “un kilobit son 1000 bits y no 1024”. Las potencias de 2 tienen sus propios prefijos, de kibi (2¹⁰) a quebi (2¹⁰⁰), definidos en IEC 80000-13. La diferencia crece con el tamaño: 2,4 % en kibi frente a kilo, 7,4 % en gibi frente a giga y 26,8 % en quebi frente a quetta… solo que el último caso, por ahora, no le pasa a nadie.

♣ Novato

“Un millón” y “mil millones” suenan parecido. Para notar la diferencia, conviértelos en tiempo:

• Mil segundos son unos 17 minutos: un café.
• Un millón de segundos son casi 12 días: unas vacaciones.
• Mil millones de segundos son casi 32 años: media vida.
• Un billón de segundos son unos 31 700 años.

Entre un millón y mil millones hay la misma distancia que entre unas vacaciones y media vida. Cada peldaño de la escalera es ×1000, aunque las palabras se parezcan.

Por eso, para comparar cosas muy distintas, se mira cuántos ceros tienen, no el número en sí. Dos cosas con los mismos ceros son “del mismo tamaño”, aunque una sea el doble que la otra.

♦ Intermedio

El orden de magnitud de un número es la potencia de 10 más cercana. Una persona mide del orden de 10⁰ m (un metro), la Tierra del orden de 10⁷ m y el universo observable del orden de 10²⁶ m. Dos cosas que difieren en un orden de magnitud se llevan un factor diez.

Para dibujarlas juntas se usa una escala logarítmica: cada paso multiplica por lo mismo, por ejemplo ×10 o ×1000. En una regla normal (lineal), de 0 a mil millones, un millón cae a una milésima del camino: pegado al cero. En una escala logarítmica, mil, un millón y mil millones quedan igual de separados, porque de cada uno al siguiente hay el mismo ×1000.

Las dos reglas sirven, para cosas distintas. La lineal enseña diferencias (“cuánto más”); la logarítmica, cocientes (“cuántas veces más”).

Un estudio de 2013 pidió a adultos estadounidenses que colocaran números grandes en una regla lineal. Cerca de la mitad lo hizo bien. Casi todos los demás pusieron un millón hacia la mitad, como si mil, un millón y mil millones estuvieran igual de separados: se guiaban por las palabras, no por los números.

♠ Técnico

Con u = log₁₀ x, multiplicar por k desplaza una distancia fija log₁₀ k. La escala logarítmica convierte cocientes en diferencias y potencias en pendientes: en ejes log-log, y ∝ xᵖ es una recta de pendiente p.

OpenStax define el orden de magnitud como round(log₁₀ x). Ojo con el umbral: el redondeo cambia en √10 ≈ 3,16, no en 5. Así, 9000 es de orden 4 aunque su exponente científico sea 3. Con esa regla, un protón (10⁻¹⁵ m) y el universo observable (10²⁶ m) están a log₁₀(10²⁶/10⁻¹⁵) = 41 órdenes de magnitud.

Landy, Silbert y Goldin (Cognitive Science, 2013) encontraron que cerca de la mitad de los participantes colocaba números de 10³ a 10⁹ de forma lineal y que casi todos los demás seguían una heurística lineal por tramos: lineal dentro de cada palabra (“millones”, “miles de millones”) y equiespaciada entre palabras. El grupo por tramos fue también más optimista con estrategias políticas ineficaces. Los autores lo atribuyen a la estructura léxica de los nombres de números, no a falta de cálculo.

♣ Novato

¿Cuántas veces late tu corazón en toda una vida? No hace falta saberlo para calcularlo a ojo:

1. El corazón late más o menos una vez por segundo.
2. 80 años son unos 2500 millones de segundos.
3. Multiplica: unos 2500 millones de latidos.

No es exacto. Quizá sean 2000 millones, quizá 3000 millones. Pero seguro que no son 20 millones ni 200 000 millones. Has acertado los ceros, y para comparar es lo que importa.

A esto se le llama estimación de Fermi, por el físico Enrico Fermi. El truco es partir una pregunta imposible en trocitos que sí sabes, y multiplicarlos.

♦ Intermedio

El método de Fermi tiene cuatro reglas:

1. Partir el problema en factores que puedas acotar.
2. Si no sabes un factor, acotarlo entre un mínimo y un máximo razonables y quedarte con un valor intermedio.
3. Usar una sola cifra: buscas los ceros, no los decimales.
4. Comprobar con algo conocido al final.

Funciona mejor de lo que parece porque los errores se compensan en parte: si te pasas en un factor y te quedas corto en otro, el producto se acerca.

Ahora, la pregunta del principio: ¿de dónde sale 7×10²⁷? Para contar átomos hace falta el mol: un paquete de 6×10²³ cosas, igual que una docena es un paquete de 12. Un mol de agua pesa unos 18 g, y cada molécula de agua tiene 3 átomos (dos de hidrógeno y uno de oxígeno).

Haz como si una persona de 70 kg fuera toda agua: 70 000 g ÷ 18 g ≈ 3900 moles de agua, × 3 ≈ 11 700 moles de átomos, × 6×10²³ ≈ 7×10²⁷ átomos. Coincide con la estimación publicada para el cuerpo humano. Con la composición real (más oxígeno y carbono en masa, que pesan más) sale 6,7×10²⁷: el mismo número de ceros.

♠ Técnico

Una estimación de Fermi es un producto N = Π fᵢ, y en escala logarítmica, una suma: log N = Σ log fᵢ. Si cada factor tiene un error multiplicativo independiente de desviación σ en log, el total crece como √n·σ y no como n·σ. Con cinco factores conocidos “a un factor 2”, el resultado queda típicamente a un factor 2^√5 ≈ 4,7: dentro del orden de magnitud.

Para un factor desconocido acotado entre x_min y x_max, la media geométrica √(x_min·x_max) es el punto medio en escala log. OpenStax lo usa para la masa de un alce: entre 10² y 10³ kg, ≈ 3×10² kg.

Los átomos de un cuerpo de 70 kg, con dos modelos independientes:

• Todo agua: 70 000 / 18,015 × 3 × N_A = 7,0×10²⁷.
• Composición en masa (O 61 %, C 23 %, H 10 %, N 2,6 %, WebElements) con los pesos atómicos convencionales: 6,7×10²⁷. El 3,4 % restante son átomos pesados (Ca, P, K…) y aporta menos del 1 % de la cuenta.

Los dos caen junto a los ≈ 7×10²⁷ de Freitas (Nanomedicine I, 3.1). La constante de Avogadro es exacta desde la redefinición del SI de 2019, así que toda la incertidumbre está en el modelo, no en N_A.